A Wick functional limit theorem and applications to fractional Brownian motion

Abstract

The Wick product is a well-known tool in stochastic analysis to construct stochastic integrals with respect to Gaussian processes beyond semimartingales. Similarly, on disturbed random walks one can define a discrete counterpart.

In this thesis we prove that weak convergence of central limit theorems carries over to applications of Wick products. Thus, the analogy of the discrete and continuous Wick calculus finds its expression in particular in convergence results. These convergences range to a functional limit theorem for Gaussian processes. Due to an extension of Sottinen's Donsker-type approximation of the fractional Brownian motion (Finance and Stochastics. (5), 343-355 (2001)) to all Hurst parameters, we can also approximate processes of fractional geometric Brownian motion type.

Based on this, we examine the convergence of solutions of Wick difference equations to solutions of corresponding Wick-Ito stochastic differential equations. We determine the asymptotical computational costs of the difference equations and illustrate it on examples for the fractional Black-Scholes model.

Moreover, we provide the equivalence conditions for convergence of discrete S-transforms to continuous S-transforms. In particular, this convergence is represented in terms of the Wiener chaos decompositions.

Das Wick Produkt ist ein bekanntes Werkzeug der stochastichen Analysis, um stochastische Integrale bezüglich Gaußschen Prozessen jenseits von Semimartingalen zu konstruieren. Gleichermaß en kann auf gestörten Irrfahrten ein diskretes Pendant definiert werden.

Wir zeigen, dass die schwache Konvergenz von zentralen Grenzwertsätzen unter der Anwendung der Wick Produkte erhalten bleibt. Damit findet die Analogie der diskreten und stetigen Wick Kalküle gerade in Konvergenzresultaten ihren Ausdruck. Diese Konvergenzen reichen bis zu einem Funktionalen Grenzwertsatz für Gaußsche Prozesse. Die Erweiterung von Sottinens Donsker-Approximation der fraktionalen Brownschen Bewegung (Finance and Stochastics. (5), 343-355 (2001)) für alle Hurst-Parameter befähigt uns, Prozesse von der Art der fraktionalen geometrischen Brownschen Bewegung zu approximieren.

Basierend darauf untersuchen wir die Konvergenz von Lösungen von Wick-Differenzen Gleichungen gegen Lösungen von zugehörigen Wick-Ito stochastischen Differentialgleichungen. Wir bestimmen den asymptotischen Rechenaufwand der Simulation dieser Differenzengleichungen und erläutern dies an Beispielen des fraktionalen Black-Scholes Modells.

Zudem charakterisieren wir Äquivalenzen zur Konvergenz der diskreten gegen die stetigen S-Transformierten. Insbesondere ist diese Konvergenz darstellbar in Form von Wiener Chaos-Zerlegungen.