Rekonstruktionsverfahren in der dynamischen Computertomographie

Abstract

In der Computertomographie nimmt die Aufzeichnung der Daten eine nicht zu vernachlässigende Zeit in Anspruch, da die Röntgenquelle während der Messung um das Objekt rotiert wird. Ändert sich das Objekt während dieser Zeit und wird die Dynamik im Rekonstruktionsverfahren nicht berücksichtigt, so treten Bewegungsartefakte in den Bildern auf. Dies ist bei vielen bekannten Methoden wie z.B. der gefilterten Rückprojektion der Fall. Ziel dieser Arbeit ist deshalb die Herleitung von Verfahren, welche das dynamische Verhalten des Objektes in die Rekonstruktion einbeziehen. Bei der mathematischen Formulierung dieses dynamischen inversen Problems zeigt sich schnell, dass ohne Zusatzinformation über die Bewegung keine aussagekräftige Rekonstruktion möglich ist. Aus diesem Grund legen wir ein Dynamikmodell zu Grunde, welches durch diffeomorphe Bewegungsfunktionen beschrieben wird. Mit dieser Zusatzinformation bestimmen wir Bilder des Objektes mit dem Verfahren der approximativen Inversen. Konkret leiten wir die Rekonstruktionskerne sowohl für den Spezialfall affiner Bewegungsfunktionen als auch für beliebige nicht-affine Verformungen her. Numerische Beispiele belegen, dass die Dynamik des Objektes gut kompensiert wird und Bewegungsartefakte in den Bildern eliminiert werden.

In computerized tomography, the data acquisition process is time consuming because the x-ray source has to be rotated around the object. Many well-known reconstruction methods like filtered backprojection make the assumption that the object does not change during this time period. If this assumption does not hold, the application of those methods results in motion artefacts in the images. The objective of this thesis is therefore the development of reconstruction algorithms that take the deformations of the object into account. The mathematical formulation of this dynamic inverse problem shows that the measured data do not provide enough information to reconstruct the object properly. Hence, we include some a priori information of the motion via diffeomorphic motion functions. Taking this motion model into account, we compute images of the object using the method of the approximate inverse. We derive specific reconstruction kernels in the special case of affine motion functions as well as in the case of more complicated deformations. Numerical examples illustrate the motion compensation property of the proposed algorithms.