Bitte benutzen Sie diese Referenz, um auf diese Ressource zu verweisen: doi:10.22028/D291-26420
Titel: K-divisible partitions in free probability
Verfasser: Arizmendi Echegaray, Octavio
Sprache: Englisch
Erscheinungsjahr: 2012
SWD-Schlagwörter: Wahrscheinlichkeitstheorie
Operatortheorie
Kombinatorik
Freie Schlagwörter: Nichtkommunative Wahrscheinlichkeit
non commutative probability
DDC-Sachgruppe: 510 Mathematik
Dokumentart : Dissertation
Kurzfassung: In this thesis we study the role of k-divisible non-crossing partitions in Free Probability. First, we consider the combinatorial convolution * in the lattices NC of non-crossing partitions and NCk of k-divisible non-crossing partitions. We show that convolving k times with the zeta-function in NC is equivalent to convolving once with the zeta-function in NC^k. This gives new ways of counting objects like k-equal partitions, k-divisible partitions and k-multichains both in NC and NC^k. We also consider some statistics of block sizes in k-divisible non-crossing partitions. Second, we introduce and study the notion of k-divisible elements in a non-commutative probability space. A k-divisible element is a (non-commutative) random variable whose n-th moment vanishes whenever n is not a multiple of k. For such k-divisible element x, we derive a formula for the free cumulants of x^k in terms of the free cumulants of x. For this we use our combinatorial results on the lattice of k-divisible non-crossing partitions. We prove that if a and s are free and s is k-divisible then sps and a are free, where p is any polynomial (in a and s) of degree k-2 in s. Moreover, we define a notion of R-diagonal k-tuples and prove similar results. Next, we show that free multiplicative convolution between a measure concentrated on the positive real line and a probability measure with k-symmetry is well defined. Analytic tools to calculate this convolution are developed. We then concentrate on free additive powers of k-symmetric distributions and prove that μt is a well defined probability measure, for all t > 1. We derive central limit theorems and Poisson type ones. More generally, we consider freely infinitely divisible measures and prove that free infinite divisibility is maintained under the mapping μ -> μk. Relations between free multiplicative powers and k-divisible non-crossing partitions are also found and generalized to any product of free random variables. We conclude by focusing on (k-symmetric) free stable distributions, for which we prove a reproducing property generalizing the ones known for one sided and real symmetric free stable laws.
In dieser Arbeit untersuchen wir die Rolle der k-teilbaren nicht-kreuzenden Partitionen in der Freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir betrachten zunächst die kombinatorische Faltung * auf den Gittern der nicht-kreuzenden Partitionen NC und der k-teilbaren nicht-kreuzenden Partitionen NC^k. Wir zeigen, dass die k-fache Faltung mit der Zetafunktion in NC äquivalent ist zur einfachen Faltung mit der Zetafunktion in NC^k. Dies eröffnet neue Wege, um Objekte wie „k-equal'' Partitionen, k-teilbare Partitionen oder k-Multiketten zu zählen -- sowohl in NC wie auch in NC^k. Darüber hinaus analysieren wir die Statistik der Größe von Blöcken in k-teilbaren nicht-kreuzenden Partitionen. Des Weiteren führen wir den Begriff der k-teilbaren Elemente in einem nicht-kommu tativen Wahrscheinlichkeitsraum ein und untersuchen diese. Ein k-teilbares Element ist eine (nicht-kommutative) Zufallsvariable, deren n-te Momente null sind, für alle n, die kein Vielfaches von k sind. Für solch k-teilbare Elemente x leiten wir eine Formel für die freien Kumulanten von x^k her, die sich auf die freien Kumulanten von x zurückführen lässt. Hierbei werden k-teilbare nicht-kreuzende Partitionen verwendet sowie unsere entsprechenden kombinatorischen Resultate. Wir beweisen, dass sps und a frei sind, falls a und s frei sind, s k-teilbar ist und p ein Polynom (in a und s) ist, dessen Grad in s gerade k-2 ist. Anschließend definieren wir den Begriff R-diagonaler k-Tupel und erhalten ähnliche Aussagen. Ein weiteres Ergebnis dieser Arbeit ist, dass die freie additive Faltung eines Maßes auf der positiven reellen Achse mit einem k-symmetrischen Wahrscheinlichkeitsmaß; wohldefiniert ist. Analytische Methoden um diese Faltung zu berechnen werden entwickelt. Wir konzentrieren uns dann auf Potenzen der freien additiven Faltung k-symmetrischer Verteilungen und zeigen, dass μ t ein wohldefiniertes Wahrscheinlichkeitsmaß ist, für alle t>1. Wir leiten zentrale Grenzwertsätze her und solche vom Typ Poissons. Etwas allgemeiner untersuchen wir frei unbegrenzt teilbare Maße und beweisen, dass die frei unbegrenzte Teilbarkeit unter der Abbildung μ -> μ k erhalten bleibt. Einige Beziehungen zwischen Potenzen der freien multiplikativen Faltung und k-teil- baren nicht-kreuzenden Partitionen werden herausgearbeitet und auf das beliebige Produkt freier Zufallsvariablen verallgemeinert. Schlussendlich nehmen wir (k-symmetrische) frei stabile Verteilungen in den Blick, für die wir eine Eigenschaft der Reproduktion beweisen. Diese verallgemeinert die für einseitige und reell-symmetrische frei stabile Gesetze bekannte.
Link zu diesem Datensatz: urn:nbn:de:bsz:291-scidok-50866
hdl:20.500.11880/26476
http://dx.doi.org/10.22028/D291-26420
Erstgutachter: Speicher, Roland
Tag der mündlichen Prüfung: 18-Okt-2012
SciDok-Publikation: 6-Mär-2013
Fakultät: Fakultät 6 - Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät I
Fachrichtung: MI - Mathematik
Fakultät / Institution:MI - Fakultät für Mathematik und Informatik

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