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Titel: Zur darstellungstheoretischen Beschreibung von elliptischen Kurven über lokalen Körpern der Charakteristik 2
Verfasser: Frieden, Jochen
Sprache: Deutsch
Erscheinungsjahr: 2004
SWD-Schlagwörter: Algebraische Zahlentheorie
Langlands-Klassifizierung
Funktionenkörper
DDC-Sachgruppe: 510 Mathematik
Dokumentart : Dissertation
Kurzfassung: Ein wesentliches Problemfeld der heutigen algebraischen Zahlentheorie ist der Beweis und die Beschreibung der ';Langlandskorrespondenz". Diese postuliert einen allgemeinen Zusammenhang zwischen der Galoistheorie arithmetisch relevanter Körper (d. h. globale oder lokale Zahl- oder Funktionenkörper) und der Darstellungstheorie reduktiver algebraischer Gruppen über solchen Körpern (die ';automorphe Seite" der Korrespondenz). Soweit diese Korrespondenz die Gruppen GL_{n} betrifft, sind die entsprechenden Vermutungen bewiesen für • n = 1, wobei die Korrespondenz hier in expliziter Weise durch die Hauptsätze der abelschen Klassenkörpertheorie gegeben ist, die in den dreißiger bis fünfziger Jahren des letzten Jahrhunderts bewiesen wurden; • n >= 2 im lokalen Fall und im globalen Fall positiver Charakteristik (Laurent Lafforgue, Fields Medal 2002); sowie in einigen weiteren Spezialfällen. Leider ist diese Korrespondenz (soweit überhaupt) nur als Existenzaussage etabliert; ihre Auswirkung auf konkrete ';Motive" kann i. a. nicht explizit beschrieben werden. Dies gilt schon für die ';einfache" Situation eines lokalen Funktionenkörpers K mit n = 2, falls K die Charakteristik 2 hat. Hier liegen bisher weder über die ';Galoisseite" noch über die automorphe Seite hinreichend genaue Aussagen vor, um den Zusammenhang zu verstehen. Das Anliegen dieser Arbeit ist das Studium solcher Darstellungen auf der Galoisseite, die sich von elliptischen Kurven E über K herleiten. In diesem Fall ist K ein Laurentreihenkörper über dem endlichen Körper mit 2^{f} Elementen. Diejenigen elliptischen Kurven über K, deren j-Invariante ungleich null ist, sind alle durch eine Weierstraßgleichung der Form Y^{2} + XY = X^{3} + alpha X^{2} + beta mit alphain K und betain K^{*} gegeben. Zu jeder dieser elliptischen Kurven liefert der Tate-Modul eine zweidimensionale Darstellung left(pi_{alpha,beta}^{K}right)^{text{'}} der Weil-Deligne-Gruppe W^{text{'}}left(K^{sep}/Kright). Wenn beta im Ganzheitsring von K liegt, läßt sich die Darstellung pi_{alpha,beta}^{text{'}} mit Hilfe der Tate-Theorie vollständig und zufriedenstellend beschreiben. In der vorliegenden Arbeit betrachten wir den Fall, daß beta nicht im Ganzheitsring von K liegt. In diesem Fall können wir left(pi_{alpha,beta}^{text{K}}right)^{text{'}} als Darstellung pi_{alpha,beta}^{text{K}} der Weilgruppe Wleft(K^{sep}/Kright), einer dichten Untergruppe der absoluten Galoisgruppe von K, auffassen. Wir bestimmen alle Fälle, in denen pi_{alpha,beta}^{text{K}} irreduzibel ist, und geben jeweils eine Brauerzerlegung (Zerlegung in eine mathbb{Z}-Linearkombination von Darstellungen, die von eindimensionalen Darstellungen induziert werden) an. Diese Charakterisierung von pi_{alpha,beta}^{text{K}} ermöglicht es uns, die epsilon-Faktoren von allen Twists (Tensorierung mit eindimensionalen Darstellungen) von pi_{alpha,beta}^{text{K}} zu bestimmen. Hierzu bemerken wir, daß die Kenntnis der epsilon-Faktoren aller Twists einer zweidimensionalen Darstellung von Wleft(K^{sep}/Kright) diese zumindest in abstrakter Weise vollständig charakterisiert. Außerdem beschreiben wir vollständig das Verzweigungsverhalten von pi_{alpha,beta}^{text{K}}. Als Nebenprodukt erhalten wir ein Verfahren, mit dem wir den Führer von pi_{alpha,beta}^{text{K}} explizit in Abhängigkeit von alpha und beta berechnen können, ohne auf den Tate-Algorithmus zurückzugreifen. Der Tate-Algorithmus entspringt einer geometrischen Betrachtungsweise, während unser Vorgehen rein darstellungstheoretischer Natur ist. Darüber hinaus bestimmen wir auch den minimalen Führer aller Twists von pi_{alpha,beta}^{text{K}}, (eine wichtige Invariante von pi_{alpha,beta}^{text{K}}) explizit in Abhängigkeit von beta.
One of the most important problems in recent algebraic number theory is to prove and describe the Langlands correspondence. This correspondence predicts a connection between the Galois theory of fields of arithmetic interest (global or local number or function fields) and the representation theory of reductive groups over such fields (the so-called automorphic side). Concerning GL_{n}, the Langlands correspondence is proven in the cases • n = 1, in this case the correspondence is given by local and global class field theory, established mainly between 1930 and 1950; • n >= 2, if the field is local or global of positive characteristic (Laurent Lafforgue, Fields Medal 2002) and in some further special cases. Unfortunately only the existence of these correspondences is well established. Their effect on concrete "motives'; is unknown. Even in the situation where n = 2 and K is a local field, no explicit characterization is known, if K happens to have characteristic 2. Neither on the Galois nor on the automorphic side there are results which allow a satisfactory description of the correspondence. The aim of the present thesis is to analyze those representations on the Galois side which occur in connection with elliptic curves. In this case the field K is the field of formal Laurent series over a finite field of 2^{f} elements. The elliptic curves with non-vanishing j-invariant are all given by a Weierstraß equation of the form Y^{2} + XY = X^{3} + alpha X^{2} + beta, where alphain K and betain K^{*}. To every elliptic curve of this form there is associated a two dimensional representation left(pi_{alpha,beta}^{text{K}}right)^{text{'}} of the Weil-Deligne group W^{text{'}}left(K^{sep}/Kright). For beta integral, Tate's uniformization theory yields a complete and satisfactory characterization of left(pi_{alpha,beta}^{text{K}}right)^{text{'}}. In this thesis we deal with the case where beta is not integral. Then we can consider left(pi_{alpha,beta}^{text{K}}right)^{text{'}} as a representation pi_{alpha,beta}^{text{K}} of the Weil group, which is a dense subgroup of the absolute Galois group of K. We give necessary and sufficient conditions for the irreducibility of pi_{alpha,beta}^{text{K}}. In all cases where pi_{alpha,beta}^{text{K}} is irreducible, we determine a Brauer decomposition, which means that pi_{alpha,beta}^{text{K}} can be expressed as a mathbb{Z}-linear combination of representations induced from one dimensional representations. That description of pi_{alpha,beta}^{text{K}} enables us to calculate the epsilon-factors of all twists of pi_{alpha,beta}^{text{K}} by one dimensional representations. We point out that knowledge of these epsilon-factors abstractly (but not explicitly) characterizes pi_{alpha,beta}^{text{K}}. We further determine the ramification properties of pi_{alpha,beta}^{text{K}}, including an explicit calculation of its conductor. Our calculation does not make use of the Tate algorithm; while Tate';s algorithm is developed from a geometric point of view, we are working with purely representation theoretic methods. As a further important result we calculate explicitly and directly from beta the minimal conductor of all twists of pi_{alpha,beta}^{text{K}}.
Link zu diesem Datensatz: urn:nbn:de:bsz:291-scidok-35165
hdl:20.500.11880/26154
http://dx.doi.org/10.22028/D291-26098
Erstgutachter: Gekeler, Ernst-Ulrich
Tag der mündlichen Prüfung: 13-Jul-2004
SciDok-Publikation: 10-Aug-2011
Fakultät: Fakultät 6 - Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät I
Fachrichtung: MI - Mathematik
Fakultät / Institution:MI - Fakultät für Mathematik und Informatik

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