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Titel: Effiziente Verfahren zur Regularisierung dynamischer inverser Probleme
Verfasser: Schmitt, Uwe
Sprache: Deutsch
Erscheinungsjahr: 2001
SWD-Schlagwörter: Inverses Problem
Regularisierung
Regularisierungsverfahren
Glattheit <Mathematik>
Computertomographie
Freie Schlagwörter: dynamisches inverses Problem
zeitliche Glattheit
inverse problem
regularization method
smoothness
computerised tomography
DDC-Sachgruppe: 510 Mathematik
Dokumentart : Dissertation
Kurzfassung: Inverse Probleme und deren Behandlung gewinnen zunehmend an Bedeutung. Viele inverse Probleme wurden durch den Zuwachs an verfügbarer Rechnerleistung während der letzten Jahre erst in akzeptabler Zeit lösbar. Solche Probleme tauchen in vielen Anwendungsgebieten wie Medizintechnik, zerstörungsfreiem Prüfen, Geologie, Signalverarbeitung und Akustik auf. Inverse Probleme bestehen meistens darin, aus indirekten Beobachtungen eines Systems auf die Eingangsdaten dieses Systems zu schließen. Ein Beispiel ist das "deblurren" (entzerren) von Himmelsbildern. Das System ist hierbei die Atmosphäre oder eine fehlerhafte Linse welche die Eingabe "Sternenbild" verzerrt und auf der Erde als "Himmelsbild" beobachtet wird. Das inverse Problem besteht hierbei darin, von dem auf der Erde aufgenommenen verzerrten Bild auf das wirkliche Sternenbild zurückzuschließen. Ein wichtiges Beispiel hierfur ist das Entzerren der seit 1990 vom Hubble-Teleskop aufgenommenen Bilder aus der Tiefe des Universums [Ado95]. Das Hubble-Teleskop befindet sich auf einem Satelliten auf der Erdumlaufbahn, mit dem Ziel atmosphärische Verzerrungen zu umgehen. Leider musste man kurz nach Beginn des Betriebs feststellen, daß die verwendete Linse fehlerhaft ist. Bei vielen inversen Problemen hat man es mit einem Meßvorgang zu tun, welcher eine nicht vernachlässigbare Zeit in Anspruch nimmt. Als Beispiel sei die Röntgen-Computer-Tomographie genannt. Die das Objekt bestrahlende Röntgenquelle umfährt während einer Zeitspanne das zu untersuchende Objekt. Die meisten bestehenden Verfahren gehen davon aus, daß sich dieses Objekt während dieser Zeit nicht ändert. In dieser Arbeit werden aufbauend auf einem abstrakten Konzept neue Verfahren vorgestellt, die es zulassen, daß sich das zu untersuchende System zeitlich ändern darf. Durch die Hinzunahme der a-priori Information "zeitliche Glattheit" gelangt man so zu funktionsfähigen Verfahren um die sogenannten "dynamischen inversen Probleme" sinnvoll zu lösen. Inverse Probleme sind im Sinne von Hadamard meist "schlecht gestellt". Hadamard führte anfang des letzten Jahrhunderts diesen Begriff ein und ging davon aus, daß solche schlecht gestellten Probleme in der Naturwissenschaft und ihren Anwendungen nicht von Bedeutung seien. Die heutige Praxis mit einer Vielzahl von inversen und schlecht gestellten Problemen widerlegt diese Behauptung deutlich. Schlecht gestellte Probleme bedürfen in ihrer Behandlung besonderer Verfahren und Techniken. Die sogenannten "Regularisierungsverfahren" gehören zu diesen. Diese zeichnen sich dadurch aus, daß man Zusatzinformationen, welche nicht aus den Daten extrahiert werden können, ins Spiel bringt. Das in dieser Arbeit vorgestellte Konzept der "zeitlichen Glattheit" führt ebenfalls zu einem solchen Verfahren. Im ersten Kapitel dieser Arbeit werden wir die hier benutzten Begriffe formal in der Sprache der Mathematik fassen. Die Darstellung fällt hierbei recht knapp aus, der interessierte Leser findet in [Lou89], [EHN96] und [CK92] tiefgreifende Abhandlungen. Die im Hauptteil dieser Arbeit benötigten mathematischen Hilfsmittel aus den Bereichen Funktionalanalysis, Optimierung, Tikhonov-Phillips-Regularisierung und Numerik werden im zweiten Kapitel vorgestellt und erarbeitet. Die folgenden Kapitel drei bis fünf stellen jeweils ein abstraktes Verfahren vor, um dynamische inverse Probleme zu lösen. Wert wurde hierbei darauf gelegt, zu effizienten Verfahren zu gelangen. Diese Verfahren sind im Vergleich zu "naiven" Verfahren, welche auf Normalengleichungen beruhen, um mehrere Zehnerpotenzen schneller. So läßt sich das später vorgestellte Problem der spatio-temporalen Stromdichterekonstruktion mit einem Einflußraum von 5000 Einflußpunkten, 32 Meßwerten und 100 Zeitschritten um den Faktor 107 beschleunigen. Damit werden dynamische inverse Probleme auch auf "kleinen" Rechnern in akzeptabler Zeit lösbar. Die Kapitel sechs bis acht stellen jeweils ein in der Praxis wichtiges dynamisches inverses Problem vor, zeigen, wie man diese mit den in dieser Arbeit erarbeiteten Verfahren lösen kann, stellen Ergebnisse vor, und vergleichen diese mit bestehenden Verfahren (falls vorhanden). Um die Universalität der erarbeiteten Verfahren zu demonstrieren, wurden die drei Beispielanwendungen so gewählt, daß man sowohl diskrete als auch kontinuierliche Modellierungen betrachtet; eins der Beispiele ist ein nichtlineares Problem. Es war mir wichtig, die erarbeiteten Verfahren auf ein robustes mathematisches Fundament zu stellen, und diese später mittels praktisch relevanten Problemstellungen zur Anwendung zu bringen. Die Geschichte dieser Arbeit beginnt mit meiner Teilnahme am Saarbrücker Projekt "Inverse Quellrekonstruktionen" in Zusammenarbeit mit Prof. Hellmut Buchner aus Aachen. Die in diesem Projekt physiologisch motivierte a-priori Information "zeitliche Glattheit" führte zu robusteren Verfahren auf dem Gebiet der Stromdichterekonstruktionen, wie sie in dieser Arbeit im achten Kapitel vorgestellt werden. Zusammen mit Carsten Wolters aus Leipzig hatte ich die Idee, diese Rechentechniken auf das Problem der dynamischen Impedanztomographie anzuwenden. Die am Lehrstuhl von Prof. A. K. Louis intensiv untersuchten Verfahren aus dem Gebiet der Röntgen-Computertomographie kamen in ihrer dynamischen Formulierung als drittes Anwendungsgebiet hinzu. Um diese drei Anwendungen einheitlich behandeln zu können, mußte ich das Konzept der Operatormatrizen wie in Kapitel zwei vorgestellt einführen und mir Gedanken über die numerische Behandlung der damit verbundenen Operatorgleichungen machen. Ich denke, daß die am Ende dieser Arbeit vorgestellten Anwendungen diesen abstrakten Rahmen erst wertvoll und sinnvoll machen. Insgesamt bin ich der Meinung, daß die vorgestellten und untersuchten Verfahren dazu geeignet sind, unter der recht allgemeinen a-priori Information "zeitliche Glattheit" zu sinnvollen und verwertbaren Ergebnissen zu gelangen.
Link zu diesem Datensatz: urn:nbn:de:bsz:291-scidok-32779
hdl:20.500.11880/26059
http://dx.doi.org/10.22028/D291-26003
Erstgutachter: Louis, Alfred K.
Tag der mündlichen Prüfung: 4-Jun-2001
SciDok-Publikation: 8-Sep-2010
Fakultät: Fakultät 6 - Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät I
Fachrichtung: MI - Informatik
Fakultät / Institution:MI - Fakultät für Mathematik und Informatik

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