Curve reconstruction and the traveling salesman problem

Abstract

An instance of the curve reconstruction problem is a finite sample set V of an unknown collection of curves gamma. The task is to connect the points in V in the order in which they lie on gamma. Giesen [Proceedings of the 15th Annual ACM Symposium on Computational Geometry (SCG '99), 1999, pp. 207--216] showed recently that the traveling salesman tour of V solves the reconstruction problem for single closed curves under otherwise weak assumptions on gamma and V; gamma must be a single closed curve. We extend his result along several directions: * we weaken the assumptions on the sample; * we show that traveling salesman-based reconstruction also works for single open curves (with and without specified endpoints) and for collections of closed curves; * we give alternative proofs; and * we show that in the context of curve reconstruction, the traveling salesman tour can be constructed in polynomial time. Furthermore we report on experiments with a number of recent curve reconstruction algorithms.

Die Eingabe eines Kurvenkonstruktionsproblems ist eine endliche Menge V von Sammelpunkten auf einer unbekannten Kurve Gamma. Die Aufgabe besteht darin einen Graphen G=(V,E) zu konstruieren, in dem zwei Punkte genau dann durch eine Kante verbunden sind, wenn die Punkte in Gamma benachbart sind. Giesen hat kuerzlich gezeigt, dass die Traveling Salesman Tour durch die Punkte V das Kurvenkonstruktionsproblem fuer einzelne geschlossene Kurven unter ansonsten schwachen Bedingungen loest; Gamma muss allerdings eine einzelne geschlossene Kurve sein. Wir erweitern dieses Ergebnis in mehrere Richtungen.